jouw wetenschapsgids in de hoofdstad

jouw wetenschapsgids in de hoofdstad

Priemgetallen, de bouwstenen van de wiskunde

Vraag eens in jouw kennissenkring welke herinneringen het schoolvak wiskunde oproept. De kans is groot dat een aanzienlijk percentage van de ondervraagden niet de meest enthousiaste reactie vertoont. Vreemd, toch? Wiskunde is namelijk een van de meest rationele constructies die de mensheid kent, en toch slaagt zij erin om sommigen ronduit emotionele schade te berokkenen. Hoewel vele anderen eerder onbewogen blijven bij deze discipline, geven ze toe dat zij ze toch liever door iemand anders beoefend zien. Een van die mensen is de zangeres Madonna, die op de opname “I’m breathless” in de track “More” openhartig getuigt:

“Any number is fine with me As long as it is more! I’m no mathematician, all I know is addition I find counting a bore. Keep the number mounting, your accountant does the counting.”
Madonna mag dan misschien niet gekend zijn om haar wetenschappelijk bijdrage, zij voelt in deze song toch intuïtief aan dat getallen aan de basis liggen van de wetenschap die haar maar weinig boeien kan. Laat mij haar eerlijke getuigenis wat aanvullen tot een didactisch meer volledige versie.

Het wiskundige bouwwerk is, zoals Madonna al aangaf, grotendeels opgetrokken uit natuurlijke getallen. Herinner je dat de verzameling van de natuurlijke getallen net die getallen bevat die, wel ja, natuurlijk zijn: 0,1,2,3,4,5,6 en ga zo maar verder. Nu zouden de bouwstenen van de natuurlijke getallen, en dus van de wiskunde, volgens de titel van dit artikel priemgetallen zijn.

Wat is een priemgetal ook alweer?

Een priemgetal is een natuurlijk getal (0,1,2,3,…) dat enkel deelbaar is (en dus bij deling geen rest na de komma oplevert) door zichzelf en door het getal 1, bijvoorbeeld: 3, 5, 7…

Waarom zijn priemgetallen dan zo fundamenteel voor de andere getallen? Wel, ieder natuurlijk getal, verschillend van 1, dat geen priemgetal is, kan je bekomen door welbepaalde priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen. Zo kan je bijvoorbeeld het getal 30 schrijven als product van de priemgetallen 2,3 en 5, want 2 maal 3 maal 5 is 30. Bovendien is deze ‘ontbinding’ in priemgetallen steeds uniek, maar de volgorde waarin de optredende priemen vermenigvuldigd worden, niet. Concreet betekent dit dat het niet uitmaakt of je “2 maal 3 maal 5”, of “3 maal 5 maal 2” doet om het getal 30 te bekomen. De voorgaande twee stellingen vormen de zogeheten Hoofdstelling van de Rekenkunde, die al in de Griekse Oudheid bekend was. Dit theorema garandeert de priemgetallen dus al meer dan 2000 jaar hun status van bouwstenen van de “Koningin der Wetenschappen”, zoals Gauss de wiskunde noemde.
In feite zou je de rol van de priemgetallen in de wiskunde een beetje kunnen vergelijken met die van de atomen in de scheikunde. Immers, we leren in het middelbaar onderwijs dat materie is opgebouwd uit moleculen, die op hun beurt weer uit atomen bestaan. Ook de manier waarop de optredende atomen in moleculen zich ‘hechten’ is in zekere zin uniek bepaald. De wakkere lezer merkt op dat dit al verdacht veel op de Hoofdstelling van de Rekenkunde begint te lijken… Is zo’n vergelijking nu gewoon een aardig toeval of zijn er nog parallellen te trekken met deze scheikundige metafoor?
Deze vraag vormt het uitgangspunt voor de lezing -met dezelfde titel als die van dit artikel – op de Science Bar Marathon op Dag van de Wetenschap Brussel. Naast schetsen waar priemgetallen zoal in de natuur opduiken, zal ik in de lezing de bovenstaande beeldspraak verder uitdiepen en bespreken hoe ver de analogie gedreven kan worden. Dit zal uiteindelijk leiden tot de opgave van het grootste onopgeloste vraagstuk uit de hedendaagse wiskunde.
Madonna wordt alvast niet verwacht op de Dag van de Wetenschap. Zij zou mijn lezing waarschijnlijk maar een weinig aangenaam tijdverdrijf vinden. Tot mijn verdediging wil ik toch nog zeggen dat er wezentjes bestaan wiens leven wél een pak aangenamer gemaakt werd door priemgetallen in acht te nemen. De geïnteresseerde lezer wordt hiervoor -bij wijze van voorsmaakje- verwezen naar mijn recente Bright Club optreden in het filmpje links.

Kom naar de Dag van de Wetenschap Brussel en leer alles over priemgetallen, waar ze voorkomen in de natuur en waarom ze zo belangrijk zijn!