jouw wetenschapsgids in de hoofdstad

jouw wetenschapsgids in de hoofdstad

De gulden snede: een verhaal van wiskunde en esthetiek

Dit is het verhaal over de ‘gulden snede’: een wiskundige verhouding die als heel harmonieus wordt ervaren wanneer het aangewend wordt in architectuur en kunst. De estheten uit de Oudheid pasten dit idee al toe nog voor het wiskundig uit de doeken werd gedaan. In dit verhaal ontmoeten wiskunde en esthetiek elkaar als vrienden. Voor de ene is wiskunde eenvoudig en voor de andere esthetiek vanzelfsprekend. We proberen om beide vormen van poëzie samen tot leven te brengen.

De Gulden Snede voor een lijnstuk

Figuur (1) toont de gulden snede van een lijnstuk met lengte 1. Je verdeelt dit in twee delen a en b. Laat a het lange deel zijn en b het korte. De gulden snede vraagt dat de lengte van het lange deel (a) gedeeld door het korte deel (b) hetzelfde is als de lengte van het volledige lijnstuk (a+b) gedeeld door het lange deel (a). Die verhouding is het gulden getal φ (phi):

Figuur 1: de gulden snede op een lijnstuk met lengte a+b=1

We nemen de totale lengte (a + b) = 1. De vergelijking boven Figuur (1) kan dan geschreven worden als:

De positieve oplossing hiervoor is:

Het lange deel (a) bedraagt dus een kleine 62% van de totale lengte van het lijnstuk. En omdat b = 1 – a, geldt ook:

Dat wil zeggen dat het korte deel (b) een dikke 38% van de totale lengte van het lijnstuk bedraagt. Met deze uitkomsten rekenen we met relatie (1) het gulden getal (phi: φ) uit:

Merk op dat het getal 1,618, precies maar dan ook precies één eenheid groter is dan 0,618. Voor iemand die van getallen houdt is dit toch wel heel mooi.

DE RIJ EN HET GETAL VAN FIBONACCI

De wiskundige Leonardo van Pisa leefde van ca. 1170 tot ca. 1250. Hij staat ook welbekend als Fibonacci. Hij publiceerde een rij getallen waarin we op subtiele wijze het gulden getal φ terugvinden. In de rij van Fibonacci geldt volgende regel:

Elk getal is dus gelijk aan de som van de twee voorgaande getallen. Beginnen we met de getallen 0 en 1, dan bekomen we de de rij van Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Als je twee opeenvolgende leden van de rij door elkaar deelt, dan komt het resultaat steeds dichter en dichter in de buurt van het gulden getal φ. Dit wordt getoond in Tabel (1).

Tabel 1: De getallen in de rij van Fibonacci staan in vetjes op de oneven rijen. De quotiënten van twee opeenvolgende getallen uit de rij staan in de even rijen eronder. Het verschil tussen het gulden getal φ en de getallen op de evenrijen wordt snel piepklein.

DE GULDEN SNEDE VAN EEN RECHTHOEK

Hier maken we gebruik van het feit dat de verhoudingen van de getallen in de rij van Fibonacci (zie Tabel 1) het gulden getal dicht benaderen. Neem bijvoorbeeld een rechthoek met lange zijde gelijk aan a + b =  8 + 5 = 13  en korte zijde gelijk aan a = 8.

Om die rechthoek op een gulden wijze te versnijden moeten getallen zoals 8 en 13 twee opeenvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci. De gulden snede verdeelt in Figuur (2) de rechthoek (13 X 8) in een blauw vierkant (8 X 8) en een gele rechthoek (8 X 5). Het vierkant heeft twee gelijke zijden waarvan de lengtes geen twee opvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci. Het vierkant komt dus niet in aanmerking voor een volgende gulden verdeling.

Gulden rechthoek 1

Figuur 2: de eerste stap in de gulden snede van een rechthoek. De grootheden a en b moeten twee opeenvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci.

De kleinere rechthoek heeft zijden met lengtes die wel twee opeenvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci. De gele rechthoek kan dus verder versneden worden met de gulden snede. De rechthoek (8 X 5) wordt nu opgedeeld in een vierkant (5X5) en een rechthoek (5 X 3). Het vierkant (5 x 5) kan niet opgedeeld worden door een gulden snede. De cijfers zijn geen twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci maar de rechthoek (3 X 5) kan dat wel. Enzovoort, tot we eindigen met twee vierkanten (1×1): ook twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Dit alles wordt geïllustreerd in Figuur (3)

Figuur 3: Een rechthoek met zijden gelijk aan twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci (13×8) wordt op gulden wijze opgedeeld in 6 vierkanten die zes opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci als lengte van hun zijde hebben.

DE GULDEN SPIRAAL VAN FIBONACCI

Neem, bijvoorbeeld, een rechthoek met lange zijde gelijk aan 89 en korte zijde gelijk aan 55. Twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Die rechthoek kan op een gulden wijze opgedeeld worden in 10 vierkanten met respectieve lengtes van hun zijden gelijk aan 55, 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1 en 1. Dit wordt getoond in Figuur (4) hieronder.

Trek nu van A naar B een kwart-cirkelomtrek met straal 55. Loop vloeiend verder van B naar C langs een kwart-cirkelomtrek met straal gelijk aan 34. Ga zo verder met kwart-cirkelomtrekken met opeenvolgende stralen gelijk aan 21, 13, 8, 5, 3, 2 en tweemaal 1. Omdat de laatste twee kwartcirkels dezelfde straal hebben en vloeiend in elkaar overlopen is het laatste onderdeel van de constructie een halve cirkelomtrek met straal gelijk aan 1. De aldus gemaakte constructie is de Spiraal of het Slakkenhuis van Fibonacci.

Figuur 4: De Spiraal of het Slakkenhuis van Fibonacci.

VOORBEELDEN

Zoals eerder vermeld, wordt het concept van de gulden snede al eeuwenlang gebruikt door kunstenaars en architecten, nog voor het wiskundig werd vastgelegd. Er wordt zelfs beweerd dat de Oude Egyptenaren het principe hebben gebruikt bij de bouw van hun piramides. We concluderen dan ook graag: wie zoekt, die vindt. de gulden snede is echt overal ter wereld terug te vinden. Hieronder vind je enkele voorbeelden.

Het Parthenon

Parthenon

Figuur 5: De gevel van het Parthenon past perfect in een rechthoek (21 X 13) die op een gulden wijze wordt opgedeeld in zeven vierkanten.

Hierboven wordt de gevel van het Parthenon getoond. Het trotseerde eeuwen, oorlogen en gebrek aan respect op 8 pilaren. Geen 7 of 9, maar 8. Een getal uit de rij van Fibonacci. De gevel heeft een verhouding van (21 X 13) en is dus in de wieg gelegd om op een gulden wijze opgedeeld te worden in zeven vierkanten. Met de lengtes van de zijkanten respectievelijk gelijk aan 13, 8, 5, 3, 2, 1 en 1. Zo hebben tussen 447 en 737 voor onze tijdrekening de architecten en beeldhouwers van het gebouw het gewild. De meesters van de werken kenden natuurlijk de rij en het getal van Fibonacci niet. Maar ze wisten wel dat die verhoudingen in een bouwwerk een streling voor het oog zijn. En dat de puzzel die de rechthoek (21 x 13) bedekt met 7 vierkanten daarenboven een maximale stabiliteit van het bouwwerk garandeert.

Leonardo da Vinci en de Vitruvius-man

Vitruvius

Figuur 6: De “Vitruvius-man” van Leonardo. De verhoudingen van zijn lichaam passen precies in een cirkel en een vierkant. De lengte van de zijde van het vierkant is gelijk aan de straal van de cirkel maal het gulden getal phi.

 

 

De veelzijdige Romein Vitruvius (architect, ingenieur, waterbouwkundige, natuurkundige, wiskundige, deskundige in menselijke anatomie, …) had onder Julius Caesar als veldheer gediend. Hij was in eerste instantie architect. Eén van zijn belangrijkste stellingen was dat lengte, breedte, hoogte en diepte van een gebouw de verhoudingen van het menselijk lichaam moeten weerspiegelen. Vitruvius werd door de wellicht nog meer veelzijdige Leonardo da Vinci uit de vergeethoek gehaald en sterk naar waarde geschat. Leonardo maakte rond 1490 de wereldberoemde “Vitruvius-man”. Die precies past in een cirkel en een vierkant. De lengte van de zijde van het vierkant is precies gelijk aan de straal van de cirkel, vermenigvuldigd met het gulden getal φ, zoals getoond in Figuur (6).  Het is absoluut zeker dat Leonardo de gulden snede grondig kende en toepaste. In dit geval is de gezamenlijke wiskundige en esthetische betrachting overduidelijk.

Leonardo da Vinci en de Mona Lisa

Mona Lisa

 Figuur 7: Vertrekkend van een rechthoek van 21 bij 13 cm in het schilderij van 77 bij 53 cm, verheerlijkt een Spiraal van Fibonacci de hele Mona Lisa en staat haar glimlach op het punt om opgenomen te worden in het paradijs.

Tot nu toe is dit verhaal goed verlopen. Een eenvoudige en elegante wiskunde heeft op waterdichte manier bouw- en kunstwerken ontworpen die millennia hebben doorstaan en schoonheid voor de eeuwigheid bewaard. Het is hierbij wel te verstaan dat er altijd moet gestart worden met rechthoeken waarvan breedte en lengte twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci als afmeting hebben. Leonardo schilderde zijn raadselachtige Mona Lisa tussen 1503 en 1506. In dit schilderij heeft Leonardo zich als een schavuit gedragen. Het schilderij is 53 cm breed en 77 cm hoog. Zijn schelmenstreek bestaat erin dat:


Een schilderij met verhouding van lengte en breedte verschillend van phi is niet geschikt om op een gulden wijze te worden versneden. (…)

Leonardo da Vinci en de Mona Lisa

 

(…) Hij moet geweten hebben dat vijf eeuwen nadat hij de Mona Lisa had geschilderd talrijke mensen zouden proberen om op alle mogelijke manieren met gulden sneden en spiralen de logica en de schoonheid van het schilderij te doorgronden. Met een breedte van 53 cm en een hoogte van 85,75 cm was dat gemakkelijk geweest omdat:

Met een hoogte van 77 cm en een breedte van 47,59 cm had niemand lang moeten zoeken waarom de Mona Lisa zo onweerstaanbaar glimlacht omdat:

Maar met de werkelijke afmetingen van het schilderij dat 53 cm breed is en 77 cm hoog, is elke poging in termen van gulden Sneden en spiralen puur speculatie. Het geheim van hoe zijn gulden streken werkelijk in elkaar zitten, nam Leonardo spottend mee in zijn graf. Figuur (7) toont een gedeelte van het schilderij. In dit gedeelte passen het gezicht en het lichaam van de Mona Lisa mooi in een (21 X 13) rechthoek die verdeeld is in 7 vierkanten. De rechthoek bedekt echter maar een gedeelte van het schilderij waarvan de afmetingen van het schilderij de spot drijven met de rij van Fibonacci. In de rechthoek die Fibonacci wel gehoorzaamt loopt de spiraal vanaf haar handen tot het topje van haar neus waar twee (1 X 1) vierkanten de wiskundige spielerei afsluiten. De spiraal die iets eerder over haar gezicht loopt draait haar glimlach in een perfect daglicht. Waarschijnlijk was Leonardo bij het schilderen van de Mona Lisa helemaal geen schavuit. Ten minste niet ten opzichte van de gulden snede.

De zonnebloem

Zonnebloem

Figuur 8: De zaadjes van de zonnebloem lopen rond in spiralen die de rij van Fibonacci uit hun hoofd hebben geleerd.

In de verdeling van de zaden in een zonnebloem zie je in Figuur (8) spiralen die met de klok meedraaien, terwijl andere tegen de klok in lopen. De grootte van de zonnebloem bepaalt het aantal spiralen. Meestal tel je 34 spiralen die de ene kant op wijzen en 55 die de andere kant op draaien. Bij kleinere zonnebloemen kom je vaak uit op 21 spiralen die de ene kant op draaien en 34 die tegen die draad in lopen. De koppels (34,55) en (21,34) bevatten beide twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci.